هندسه )( رشتۀ ریاضی و فیزیک کتاب معلم )راهنمای تدریس( پایۀ دهم دورۀ دوم متوسطه 395
وزارت آموزش و پرورش سازمان پژوهش و برنامهريزي آموزشي نام کتاب: پدیدآورنده: مدیریت برنامهریزی درسی و تألیف: شناسه افزوده برنامهریزی و تألیف: مدیریت آمادهسازی هنری: شناسه افزوده آمادهسازی: نشانی سازمان: ناشر: چاپخانه: سال انتشار و نوبت چاپ: کتاب معلم هندسه پایۀ دهم دورۀ دوم متوسطه 0365 سازمان پژوهش و برنامهریزی آموزشی دفتر تألیف کتابهای درسی عمومی و متوسطه نظری میالد افشینمنش طاهره اسدی زهرا رحیمی محمدرضا سیدصالحی هوشنگ شرقی اسماعیل طاهری مقدم مرتضی علیشاهی و محمود نصیری )اعضای گروه تألیف( اداره کل نظارت بر نشر و توزیع مواد آموزشی لیدا نیک روش )مدیر امور فنی و چاپ( جواد صفری )مدیر هنری( زهره بهشتی شیرازی )صفحه آرا( مریم دهقان زاده )رسام( فاطمه باقری مهر علیرضا کاهه علیرضا ملکان سپیده ملک ایزدی حمید ثابت کالچاهی و احمدرضا امینی )امور آماده سازی( تهران: خیابان ایرانشهر شمالی ساختمان شمارۀ ٤ آموزش و پرورش )شهید موسوی( تلفن: ٩ ٨٨٨٣١١٦١ دورنگار: ٨٨٣٠٩٢٦٦ کد پستی: ١٥٨٤٧٤٧٣٥٩ وبگاه: www.chap.sch.ir و www.irtextbook.ir شرکت چاپ ونشر کتابهای درسی ایران تهران کیلومتر ١٧ جادۀ مخصوص کرج خیابان ٦١ )داروپخش( تلفن: ٥ ٤٤٩٨٥١٦١ دورنگار: 4498560 صندوق پستی: ١٣٩ ٣٧٥١٥ شرکت چاپ و نشر کتاب های درسی ایران»سهامی خاص«چاپ او ل ١٣٩٥ شابك 9 669 05 964 978 9 669 05 964 ISN: 978
جوانها قدر جوانيشان را بدانند و آن را در علم و تقوا و سازندگي خودشان صرف كنند كه اشخاصي امين و صالح بشوند. مملكت ما با اشخاص امين ميتواند مستقل باشد. امام خميني»قد س سر هالش ريف«
کلیۀ حقوق مادی و معنوی این کتاب متعل ق به سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی وزارت آموزش و پرورش است و هرگونه استفاده از کتاب و اجزای آن به صورت چاپی و الکترونیکی و ارائه در پایگاه هاي مجازی نمایش اقتباس تلخیص تبدیل ترجمه عکس برداری نقاشی تهیة فیلم و تکثیر به هر شکل و نوع بدون کسب مجو ز ممنوع است و متخل فان تحت پیگرد قانونی قرار می گیرند.
فهرست فصل ١: ترسیم هندسی و استدالل...١ درس اول: ترسیم های هندسی... ٤ درس دوم: استدالل... 9 فصل ٢: قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن...١٥ درس اول: نسبت و تناسب در هندسه... ٢٢ درس دوم: قضیه تالس... ٢٥ درس سوم: تشابه مثلثها... ٢٨ درس چهارم: کاربردهایی از قضیه تالس و تشابه مثلثها... ٣٥ فصل ٣: چندضلعی ها... ٤٣ درس اول: چند ضلعی ها و ویژگی هایی از آنها... ٥٢ درس دوم: مساحت و کاربردهای آن... ٥٧ فصل ٤: تجسم فضایی... ٧٥ درس اول: خط نقطه و صفحه... ٨٢ درس دوم: تفکر تجسمی... ٨٤
مقدمه هندسه به عنوان یک مهارت پایهای ریاضی در برنامه درسی ریاضی بسیاری از کشورها مورد تأیید و توجه قرار گرفته و تفکر هندسی و آموزش هندسه در برنامه درسی ریاضی مدرسهای از جایگاه ویژهای برخوردار است. از همین رو در تألیف کتاب درسی سعی بر آن بوده است که نخست حوزۀ هندسه و اندازهگیری و چگونگی آموزش آن مورد بازاندیشی قرار گیرد و سپس محتوای کتاب با تکیه بر آخرین دستاوردهای پژوهشی در این حوزه و با تبعیت از اسناد باال دستی از جمله سند برنامه درسی ملی تنظیم و پیشنهاد شود. بدین ترتیب برخی اصول و رویکردهای کلی هدایتگر مؤلفین این کتاب بوده است. ازجمله اینکه در تنظیم و تدوین محتوای کتاب متوسط هوش و توان یادگیری دانشآموزان مد نظر میباشد. روند آموزش در این کتاب به آرامی از شهود آغاز شده و به سمت تجرید پیش میرود و مشابه با سایر کتابهای درسی جدیدالتألیف با اخذ توجه بیشتر به فعالیت دانشآموزان سعی بر آن است که شیوۀ آموزش از معلم محوری فاصله گرفته و طالب مشارکت بین معلم و دانشآموزان باشد. نگاه کاربردی و برقراری ارتباط هندسه با زندگی روزمره رویکرد دیگری است که در تدوین کتاب مورد توجه قرار گرفته و تالش شده که تلفیقی از هندسه با سایر حوزههای مطالعاتی نظیر معماری هنر و زیباییشناسی ارائه شود. در این کتاب تالش شده است با زمینهسازی برای آشنایی دانشآموزان با انواع استدالل و تقویت توانمندی تشخیص اثباتهای معتبر از اثباتهای نامعتبر همسو با آرمانهای سند برنامه درسی ملی بستر الزم برای تربیت و پرورش انسانهایی که در برخورد با مسائل میتوانند به طور منطقی استدالل کنند و قدرت تجزیه و انتزاع بیشتری دارند فراهم شود. همچنین سعی بر آن بوده است که بر تقویت و توسعۀ روحیه پرسشگری پژوهشگری و خالقیت در دانشآموز تأکید شود. بدین ترتیب با زمینهسازی برای
ایجاد نظم فکری با توجه به سلسله مراتب اصول و قضایا و تشخیص روابط منطقی بین مفاهیم و زمینهسازی برای دستیابی به علم نسبت به پدیدهها روابط رویدادها و قوانین جهان آفرینش به دانشآموز کمک میشود که به درک قانونمندیهای طبیعت نائل آید. بیان دقیق ایدههای هندسی با بهکارگیری زبان هندسی و تقویت گفتمان ریاضی پرورش ذهن خالق و باال بردن درک فضایی دانشآموزان شناسایی و تحلیل ویژگیها و مشخصههای اشکال هندسی در صفحه و فضا اهداف دیگری است که در راستای تقویت تفکر تجسمی که مورد تأکید برنامه درسی ملی است هدایتگر تنظیم محتوای این کتاب بوده است. بدین ترتیب در این قسمت سعی شده است که بدون ورود به حیطۀ محاسبات و استدالل و تنها به کمک درک شهودی دانشآموزان با مهمترین سازههای ساختمان هندسه آشنا شده و به زبان تصاویر و اشکال هندسی گفت و گو خواهد کردند.
فصل ترسیم هندسی و استدالل
تصویر عنوانی مسئله تقسیم بندی زمین های قابل زراعت برای مصارف کشاورزی و گذران زندگی قدمتی به طول تاریخ بشری دارد. برخی بر این باورند که شکل گیری هندسه به طور رسمی به زمانی برمی گردد که بر اثر طغیان رود نیل در مصر مرز میان زمین های کشاورزی شسته شده و از بین می رفت و بازسازی و تقسیم بندی مجدد زمین ها مسئله ای مناقشه برانگیز میان کشاورزان بود. واژه»هندسه«یا معادل آن»Geometry«که از ترکیب Geo+metry به معنای اندازه گیری زمین به وجود آمده است اشاره به این پیدایش تاریخی دارد. لذا شاید بی مناسبت نباشد اگر هندسه دهم با ترسیم های هندسی آغاز شده و با روند تاریخی شکل گیری این علم ارتباطی تنگاتنگ یابد. نقشۀ مفهومی فصل اول ترسیم های هندسی استدالل و انواع آن رسم نیمساز و خواص آن رسم عمود منصف و خواص آن رسم خط عمود/ موازی با خط داده شده استقراء استنتاج برهان غیرمستقیم )خلف( مثال نقض قضیۀ شرطی قضیۀ دو شرطی
فصل او ل: ترسیم هندسی و استدالل 3 نگاه کلی به فصل ترسیم های هندسی بر پایه مفهوم»مکان هندسی«بنا شده است و منظور از آن مجموعه تمام نقاطی از صفحه است که دارای ویژگی مشخصی باشند و هر نقطه از صفحه که دارای آن ویژگی است در مجموعه فوق قرار داشته باشد. در بخش اول این فصل بر پایه مفهوم مکان هندسی مجموعه تمام نقاطی که از یک یا دو نقطه و یا یک خط دارای فاصله یکسانی باشند تعریف شده و این تعاریف پله نخستین در تعریف نیمساز یک زاویه و عمود منصف یک پاره خط و همچنین عکس خاصیت نیمساز و عمود منصف قرار گرفته است. شروع گام به گام پیشروی با حوصله کتاب درسی در این بخش زمینه را برای آموزش رسم خط عمود بر یک خط و خط موازی با یک خط فراهم کرده است و با ایجاد فعالیت هایی مرحله بندی شده مقدمات کشف ویژگی های چهارضلعی های معروف را توسط دانش آموزان در این فصل و ادامه آن در فصل سوم به وجود آورده است. از آنجا که پرداختن به اثبات بدون داشتن درک درستی از روش های پذیرفته شده استدالل در ریاضیات و هندسه آموزشی عقیم و نیمه کاره است در بخش دوم این فصل کتاب درسی با شیب مالیمی به آشناسازی دانش آموزان با انواع استدالل و برهان در ریاضی پرداخته و با معرفی مثال نقض به عنوان ابطال کننده یک اثبات پایه ای برای آموزش استدالل ها در هر کجای هندسه یا ریاضی فراهم آورده است.
4 درس اول ترسیم های هندسی اهداف درس اول آشنایی با روش یافتن مجموعه نقاطی که از یک یا دو نقطه به فاصله مشخصی باشند. آشنایی با نیمساز یک زاویه به عنوان مجموعه نقاطی که از دو ضلع زاویه به فاصله یکسانی هستند. ٣ مهارت در رسم نیمساز یک زاویه داده شده و درک عکس خاصیت نیمساز ٤ آشنایی با عمودمنصف یک پاره خط به عنوان مجموعه نقاطی که از دو سر پاره خط به فاصله یکسانی است. ٥ مهارت در رسم عمود منصف یک پاره خط دلخواه و و درک عکس خاصیت عمود منصف ٦ روش رسم خطی عمود بر یک خط در نقطه ای روی خط یا بیرون خط و تسلط بر آن ٧ روش رسم خطی موازی با یک خط از نقطه ای خارج آن خط و تسلط بر آن ٨ مهارت در رسم چندضلعی ها و یافتن مرکز دایره با داشتن کمانی از دایره روش تدریس درس اول پیش از شروع درس مطمئن شوید که تمام دانش آموزان ابزار پرگار و خط کش به همراه داشته باشند تا از کاسته شدن سرعت تدریس جلوگیری شود. فعالیت صفحه 0 در سؤال دایره را به عنوان مجموعه تمام نقاطی که از مرکز دایره به فاصله ثابتی هستند معرفی می کند. برای عمق بخشی بیشتر می توانید مربعی به مرکز O رسم کنید و این سؤال را مطرح کنید که»چرا پاسخ سؤال این فعالیت نمی تواند این مربع باشد «سؤال پیش زمینه ای برای آموزش رسم عمود منصف در ادامه این بخش خواهد بود. سؤال 3 دو نقطه روی خط d باید به دست آید که این کار با کمان زدن انجام خواهد شد. حل صحیح این سؤال الزمه اجرای روش رسم خطی عمود بر یک خط از نقطه ای بیرون آن خط است.
فصل او ل: ترسیم هندسی و استدالل 5 مقایسه سؤال 4 با توسط دانش آموزان می تواند نتیجه ای مفید به همراه داشته باشد. چرا که حاصل انجام هر دو سؤال این فعالیت خطی عمود بر پاره خط است. اما این خط عمود در سؤال از هر دو طرف پاره خط به فاصله یکسان و در سؤال 4 به یک طرف پاره خط نزدیک تر است. ادامه پاسخ گویی به سؤال 4 پیش زمینه روش رسم مثلثی با داشتن اندازه 3 ضلع است. کار در کالس صفحه مروری بر سؤاالت مطرح شده در فعالیت صفحه 0 را دارد. در انجام سؤال 3 که یک مسئله باز پاسخ )چند جوابی( است می توانید از سطح عددگذاری ساده فراتر رفته و از دانش آموزان بخواهید مسئله را به طور جبری و با قرار دادن شرط های مناسب برای عبارات جبری پاسخ دهند. انجام فعالیت پایین صفحه به درک نتیجه»خاصیت نیمساز«می رسد و ادامه این فعالیت در صفحه»عکس خاصیت نیمساز«را آموزش می دهد.نتیجه دومی که در صفحه قرار دارد ترکیب خاصیت و عکس خاصیت نیمساز در صورت یک قضیه دو شرطی است. بکوشید این نتیجه با جمله بندی صحیح خود دانش آموزان تکمیل شود. فعالیت پایین صفحه روش رسم نیمساز را آموزش می دهد. می توانید بعد از انجام مرحله به مرحله این فعالیت از یک یا چند دانش آموز بخواهید تا روش رسم نیمساز یک زاویه را به طور کلی برای کل کالس توضیح دهند و جمع بندی کنند. برای توسعه این فعالیت می توانید از دانش آموزان بخواهید تا دهانه پرگار را به قدری باز کنندکه کمان های رسم شده با مرکز و یکدیگر را پشت زاویه O قطع کنند و سپس از رأس زاویه و نقطه به وجود آمده خطی بگذرانند و بررسی کنند که آیا باز هم نیمساز زاویه O خواهد بود یا نه و دلیلش را ذکر کنند. در انجام فعالیت صفحه 3 سؤال خاصیت عمود منصف را آموزش می دهد. می توانید قبل از استدالل رسمی از دانش آموزان بخواهید نقطه W را روی عمودمنصف باال و پایین ببرند و با خط کش فاصله آن تا دو سر و را اندازه بگیرند. سؤال این فعالیت عکس خاصیت عمود منصف را بیان خواهد کرد و نتیجه آن را در قالب یک جمله شسته رفته ارائه می دهد. نتیجه ای که بعد از این دو نتیجه آمده ترکیب خاصیت عمودمنصف و عکس خاصیت عمود منصف در قالب یک قضیه دو شرطی است. فعالیت پایین صفحه 3 با رسیدن به این نتیجه که برای مشخص کردن یک خط داشتن نقطه از آن الزم است ضرورت داشتن دو نقطه برای رسم عمود منصف یک پاره خط را در فعالیت صفحه 4 فراهم می کند. فعالیت باالی صفحه 4 روش رسم عمود منصف پاره خط را بیان می کند. بهتر است کار در کالسی که بعد از آن آمده است را ابتدا دانش آموزان به صورت تک نفری یا در گروه های 4-3 نفره پاسخ
6 دهند و سپس از هر گروه یک نماینده نظر گروه را بیان کرده و در نهایت شما با کمک دانشآموزان بر روی نظر کاملتر و صحیحتر توافق کنید. کار در کالس انتهای این صفحه میتواند مشابه کار در کالس قبلی اجرا و حل شود. در فعالیت باالی صفحه 5 برای پاسخگویی به سؤال میتوانید نگاهی به سؤال 3 فعالیت صفحه 0 داشته باشید و یادآوری صورت گیرد. اجرای دقیق مراحل رسم کمانها الزمه پاسخگویی صحیح به این فعالیت است. کار در کالس پس از آن میتواند در قالب یک کار گروهی یا انفرادی انجام شود و پس از آن توافق کلی صورت پذیرد. فعالیت وسط صفحه 5 با هدف آموزش رسم خطی موازی با خط d طراحی شده است و روش آن استفاده از دو عمود متوالی میباشد. با توجه به وقتگیر بودن این فعالیت زمان مناسب برای اجرای آن در کالس را در نظر داشته باشید. کار در کالس پس از آن میتواند با توجه به آنکه دانشآموزان روش رسم خطی عمود بر یک خط از نقطهای داده شده روی آن را قبال یاد گرفتهاند به صورت خالصهتر و با پرهیز از بیان جزئیات حل شود. فعالیت پایین صفحه 5 که در صفحه 6 نیز ادامه مییابد ترکیبی از مهارتهای آموخته شده توسط دانشآموزان در این فصل را به کار میگیرد تا روش رسم مربعی با قطر داده شده را آموزش دهد. کار در کالس انتهایی این فصل با حل گروهی یا انفرادی در کالس قابل انجام است. حل تمرین های صفحه 6 ابتدا پاره خط به طول 7cm را رسم می کنیم. سپس از وسط و در راستایی غیر از راستای به اندازه cm پاره خطی رسم می کنیم تا نقطه به دست آید. پاره خط رسم شده را از سمت دیگر به اندازه cm امتداد می دهیم تا نقطه D به دست آید و شکل کامل شود. 7 3/5 3/5 3/5 3/5 D
فصل او ل: ترسیم هندسی و استدالل 7 3 متوازی االضالع است. زیرا رأس D روی کمانی به مرکز و شعاع a واقع شده است. پس D=a و رأس روی کمانی به مرکز و شعاع a واقع شده است. پس =a همچنین رأس D روی کمانی به مرکز واقع شده است. پس D=b و رأس روی کمانی به مرکز و شعاع b واقع شده است پس =b و چون D==a و =D=b یعنی اضالع روبه رو دو به دو مساوی اند. بنابراین داریم: ض ض ض b D = = D = = a D = = تساوی اجزای متناظر مشترک چون = طبق عکس قضیه خطوط موازی و مورب D و بهطور مشابه میتوان نشان داد که.D پس شکل متوازیاالضالع است. 4 الف( پارهخط به طول 5cm را رسم میکنیم و از وسط و عمود بر آن به اندازه /5 cm در دو طرف امتداد میدهیم تا نقاط D به دست آمده و شکل کامل شود. 5 /5 /5 /5 /5 D ب( ابتدا پاره خط به طول 6cm را رسم می کنیم. بر وسط خط دلخواهی عمود می کنیم. )عمود منصف را رسم می کنیم( از نقطه )یا ( به اندازه 5cm کمان می زنیم تا عمود منصف را در دو نقطه و D قطع کند و شکل کامل شود. 6 D 5 5 3 3 D 5 5 3 3
8 4 4 6 الف( خطوطی به موازات دو ضلع زاویه و به فاصله cm از آنها رسم می کنیم. محل تقاطع آنها پاسخ مسئله است. ب( خطوطی به موازات دو ضلع زاویه و به فاصله 4cm از آنها رسم می کنیم.محل تقاطع آنها پاسخ مسئله است. پ( خطی از دو نقطه به دست آمده در قسمت )الف( و )ب( می گذرد. زاویه را نصف می کند. نیمساز الف ب 7 وتر دایره است. بنابراین و روی محیط دایره اند. پس فاصله آنها تا مرکز دایره یعنی O و O یکسان است. طبق عکس خاصیت عمود منصف چون O از دو سر پاره خط به یک فاصله است پس روی عمود منصف واقع شده است. 8 دو وتر در قوس جلوی محوطه هجده قدم رسم می کند و عمود منصف آن دو وتر را ترسیم می نماید. محل برخورد دو عمود منصف مرکز دایره و همان نقطه پنالتی است.
فصل او ل: ترسیم هندسی و استدالل 9 درس دوم استدالل اهداف درس دوم درک اهمیت استدالل و آشنایی با برخی از انواع استدالل ها ٢ آشنایی با استدالل استقرایی )صرفا به منظور حدسیه سازی( ٣ مهارت در استدالل استنتاجی با بررسی اثبات چندین قضیه هندسی شرطی و دوشرطی ٤ آشنایی با گزاره نقیض گزاره گزاره شرطی قضیه های شرطی و دو شرطی عکس قضیه ٥ مهارت در برهان غیرمستقیم )برهان خلف( و مثال نقض با بررسی چندین قضیه و مثال روش تدریس درس دوم پیش از ورود به تدریس درباره اهمیت استدالل در زندگی و قضاوت عادالنه با دانش آموزان سخن بگویید و ریاضیات و هندسه را به عنوان علمی بنا شده بر پایه استدالل و منطق به آنها معرفی کنید. معرفی استدالل استقرایی در صفحه 8 با یادآوری آموخته ها در سال های گذشته و مرور آنها انجام شده است. از آنجا که استدالل استقرایی در علوم انسانی و تجربی)مانند پزشکی( کاربرد داشته و بهره گیری از آن در ریاضیات صرفا یه منظور حدسیه سازی می باشد. می توانید چندین مثال پذیرفته شده و صحیح را در کالس مطرح کنید تا روند شکل گیری یک»حدس«در ریاضیات برای دانش آموزان آشکار شود. مثال : علی با اندازه گیری زوایای درونی مثلث و محاسبه مجموع آنها در 0 مثلث به این نتیجه )حدس( رسید که مجموع زوایای درونی هر مثلث )ممکن است( 80 باشد. مریم با یافتن نقطه همرسی عمود منصف ها در 5 مثلث به این نتیجه )حدس( رسید که نقطه همرسی عمود منصف ها )ممکن است( داخل خارج یا روی مثلث واقع شود. در ادامه صفحه 8 معرفی استدالل استنتاجی انجام شده است.
0 به عنوان مثال بیشتر در استدالل استنتاجی نمادین میتوانید از نمونه زیر استفاده کنید. قضیه: مجموع زوایای خارجی هر مثلث 360 است. اثبات: + + + + + = 3 80 = 540 80 80 80 + + + + + = = 80 مجموع زوایای درونی? 540 + + = 540 80 = 360 فعالیت صفحه 9 شامل دو نوع استدالل برای اثبات یک قضیه است. استدالل پژمان که با بررسی تعدادی چهارضلعی حکم کلی صادر کرده است از نوع استقرایی و البته غیرقابل تعمیم برای هر چهار ضلعی و لذا غیر قابل اعتماد است. اما استدالل پیمان از نوع استنتاجی و قابل تعمیم برای هر چهار ضلعی دلخواه است. مثال پایین صفحه 9 نیازمند درک کامل خاصیت عمود منصف و عکس خاصیت عمود منصف در درس اول همین فصل است. در این مثال دانش آموزان با استدالل استنتاجی همرسی عمودمنصف های اضالع هر مثلث دلخواه را ثابت می کنند. مثال وسط صفحه 0 همرسی ارتفاع ها در هر مثلث دلخواه را با کمک تبدیل ارتفاع ها به عمود منصف اضالع مثلث بزرگ تری که اضالع آن دو برابر اضالع مثلث اولیه است ثابت می کند. مثال پایین همین صفحه که ادامه آن در صفحه می باشد با استفاده از پیش دانسته های دانش آموزان در موضوع خاصیت نیمساز و عکس خاصیت نیمساز همرسی نیمسازها در هر مثلث دلخواه را ثابت می کند. در هر سه مثال گفته شده نتیجه به دست آمده برای سایر مباحث هندسی دارای اهمیت است. بکوشید این اهمیت را به دانش آموزان گوشزد کنید. فعالیت صفحه همان طور که قبال اشاره شد استدالل استقرایی را به منظور حدسیه سازی به کار برده است و به طرح قضیه ای پرداخته که در غالب کتب غیررسمی هندسه به قضیه»ضلع برتر زاویه برتر«معروف است. توجه داریم که عکس این قضیه نیز برقرار می باشد. دانش آموزان با جداسازی مفروضات و حکم قضیه از میان نوشتار مسئله در صفحه به اثبات آن می پردازند. دو پیش دانسته الزم برای اثبات این قضیه در صفحه آمده است. اولین پیش دانسته در مورد مثلث متساوی الساقین برای اکثر دانش آموزان بدیهی است. دومین پیش دانسته می تواند به صورت زیر اثبات و
فصل او ل: ترسیم هندسی و استدالل یادآوری گردد: = + و می دانیم اندازه زوایای و هر دو عددی مثبت است. و می دانیم اگر از یک طرف تساوی عدد مثبتی را برداریم آن طرف کوچک تر از طرف دیگر خواهد شد بنابراین: > 0 = + > > 0 = + > و اثبات تمام است. روند اثبات در صفحه به این پرسش ختم می شود که»چرا می توان این موضوع را درباره تمام مثلث هایی که دو ضلع نابرابر دارند پذیرفت «پاسخ گویی به این پرسش نیازمند توجه دادن دانش آموزان به جمله ای است که در صفحه قبل پیش از آغاز استدالل نمادین آورده شده است:»مثلثی می کشیم که دو ضلع نابرابر داشته باشد و ویژگی خاص دیگری نداشته باشد.«توجه به این نکته که در استدالل های استنتاجی اشکال هندسی صرفا ویژگی بیان شده در مسئله را داشته و غیر از آن ویژگی اضافی دیگری بر آنها تحمیل نشده باشد جان مایه قابلیت تعمیم یافتن استدالل های استنتاجی می باشد. ذیل همین اثبات کلمه»قضیه«برای اولین بار مطرح می شود. بکوشید استفاده مکرر از این واژه آن را برای دانش آموزان کالس مأنوس کند. پاراگراف انتهای صفحه روند شکل گیری یک استدالل ریاضی را بیان می کند و الگوریتم مهم ی برای سایر نمونه های بعدی می باشد. صفحه 3 با تعریف»عکس یک قضیه«و ارائه چند مثال درس را ادامه می دهد. صرف وقت در این موضوع برای رسیدن به تسلط حداکثری در کالس حائز اهمیت است. الزم است دانش آموزان بتوانند فرض و حکم مسئله را یافته و با جابه جایی آنها عکس قضیه را به وجود آورند. ضمنا عکس قضیه در صفحه 5 با برهان غیرمستقیم اثبات خواهد شد. صفحه 4 با معرفی گزاره به عنوان»صرفا و فقط یک جمله خبری«آغاز می شود که می تواند خبری درست یا نادرست را بدهد. اگرچه تشخیص درستی یا نادرستی آن برای خواننده ممکن نباشد. مثال :»در مریخ موجود زنده وجود دارد.«گزاره مرکب از ترکیب دو یا چند گزاره ساده به وجود می آید. نقیض یک گزاره از نظر درستی یا نادرستی دقیقا مخالف با گزاره اصلی است. درنگ الزم در این قسمت برای کسب مهارت کافی الزامی است. نمونه مناسبی که می توانید برای تفهیم بیشتر به کار ببرید
گزاره زیر است: 0 a : a </ 0 نقیض گزاره <0 a : گزاره بعضی گزارهها به جای آنکه خبری را به طور مستقیم بیان کنند آن را وابسته به یک شرط میکنند که گزارههای شرطی نام دارند. مثالهای بیشتر برای گزاره شرطی )که ممکن است درست یا نادرست باشند( در زیر آمده است. اگر <0 a آنگاه <0 a )درست( اگر a > b آنگاه a > b )نادرست( اگر >0 a آنگاه > a+ )درست( استدالل غیر مستقیم یا برهان خلف نوعی از استدالل است که با فرض نادرست بودن حکم آغاز میشود و به تناقض با یکی از فرضهای مسئله یا حقایق دانسته شده ریاضی میرسد. دانشآموزان در سالهای آینده به این نوع استدالل نیاز خواهند داشت. مثالهایی که در این قسمت مطرح شده است هر دو مورد تناقض را پوشش داده است. مثال اول به تناقض با این حقیقت که»مجموع زوایای درونی هر مثلث 80 است«میرسد و مثال دوم به تناقض با یکی از مفروضات قضیه میرسد. پیشنهاد میشود بعد از پایان اثبات قضیه دانشآموزان برای یک بار هم که شده قضیه و عکس قضیه و اثبات آنها را در کنار هم دیده و مرور کنند. صفحه 6 را میتوان جمعبندی یک قضیه شرطی و عکس آن در قالب»قضیه دو شرطی«دانست. قضیههای دو شرطی با نماد» «نوشته شده و اصطالحهای»اگر و تنها اگر«یا»اگر و فقط اگر«برای بیان کالمی آن استفاده میشود. نمونههایی از قضایای دوشرطی به صورت زیر است: a+ > b+ a < b a 3 >0 a <0 -b >-a >0 0 > a > b مثال گفته شده در پایان این قسمت را میتوانید از طریق برابری مساحت مثلث در هر دو حالت اثبات کنید. برای این کار یک بار مساحت مثلث را از طریق نصف حاصلضرب ارتفاع اولی در ضلع اولی بیابید و بار دیگر از طریق نصف حاصلضرب ارتفاع دومی در ضلع دومی. با توجه به برابری مساحت در هر دو حالت و ایجاد یک تساوی بین دو رابطه حکم نتیجه خواهد شد. مثال نقض مثالی است که یک حکم کلی را باطل میکند. گاهی اوقات مثال نقض نشان میدهد حدسیهای که از طریق استدالل استقرایی به آن رسیدهایم نادرست و دارای نمونهای است که در آن حدس کلی صدق نمیکند.
فصل او ل: ترسیم هندسی و استدالل 3 حتما دانش آموزان را به این نکته توجه دهید که اگر برای یک حدس یا حکم کلی نتوانستیم مثال نقض بیاوریم دلیل بر درستی آن حدس نیست. ممکن است تالش بیشتر ما را به مثال نقض برساند. ضمن آنکه برای اثبات حکم کلی نیازمند استدالل استنتاجی هستیم. کار در کالس صفحه 7 با ارائه چند مثال نقض قابل حل است. سؤال بدیهی است. برای سؤال مورد )الف( می توانید دو مجموعه نامساوی را مثال بزنید مثال ={3,4,5} ={,,3} برای مورد )ب( می توانید مثلث های زیر را در نظر بگیرید: 4 0 5 در هر دو مثلث مساحت برابر 0 می باشد اما واضح است که همنهشت نیستند. حل تمرین های صفحه 7 فرض کنیم خط d و دو خط موازی l و l را داریم به طوری که خط d خط l را قطع کرده است. میخواهیم ثابت کنیم خط d خط l را نیز قطع میکند. با برهان خلف فرض میکنیم خط d خط l را قطع d نکند. محل تقاطع خطوط d و l را M مینامیم. میبینیم l M از نقطه M دو خط d و l عبور کردهاند که l را قطع l نکردهاند. یعنی هر دو خط d و l به موازات l از نقطه M رسم شدهاند که این تناقض میباشد. لذا فرض خلف باطل است و حکم ثابت است. = میباشد. فرض خلف را = در نظر میگیریم. اگر نیمساز زاویه را رسم کنیم لذا در دو مثلث M و M خواهیم داشت:
4 M + + M = 80 + + M = 80 = M = M = اکنون با دانستن اینکه M = M است داریم: : : M نیمساز است :مشترک M = M ز ض ز = M M M = M تساوی اجزاء متناظر = که با فرض مسئله که در تناقض است و لذا فرض خلف باطل و حکم ثابت است. 3 الف( نادرست: مثلث قائمالزاویه با زوایای 90 و 70 و 0 را در نظر بگیرید. ب( نادرست: در مثلث قائمالزاویه از میان 3 ارتفاع دو تا از آنها با دو ضلع مثلث برابرند. 4 هر n ضلعی را با رسم قطرهایش از یکی از رأسها میتوان به -n مثلث تقسیم کرد. چون مجموع زوایای درونی هر مثلث نیز 80 میباشد. مجموع زوایای درونی هر n ضلعی 80*)-n( خواهد شد. ٥ الف( وجود دارد لوزی که مربع نیست. ب( هر مستطیل یک مربع است. پ( وجود دارد مثلثی که بیش از یک زاویه قائمه دارد. ت( چهارضلعی محدبی وجود دارد که مجموع زوایای داخلیاش 360 نیست. 6 الف( در هر مثلث اگر دو زاویه برابر باشند دو ضلع روبهرو به آنها نیز برابرند. در هر مثلث دو زاویه با هم برابر است اگر و تنها اگر دو ضلع روبهرو به آنها با هم برابر باشند. ب( اگر یک چهارضلعی قطرهایش عمود منصف یکدیگر باشند لوزی است. یک چهارضلعی لوزی است اگر و تنها اگر قطرهایش عمود منصف یکدیگر باشد. پ( در هر مثلث اگر سه زاویه با هم برابر باشد آنگاه سه ضلع نیز با هم برابرند. در هر مثلث سه زاویه باهم برابرند اگر و تنها اگر سه ضلع با هم برابر باشند. ت( اگر دو دایره مساحتهای برابر داشته باشند آنگاه شعاعهای برابر نیز دارند. دو دایره مساحتهای برابر دارند اگر و تنها اگر شعاعهای برابر داشته باشند.
فصل قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن
6 توصیه های آموزشی در برخی از کتاب های هندسه یک پاره خط را به صورت و طول آن را به صورت نمایش می دهند. ولی در کتاب هندسه هم خود پاره خط و هم طول آن )برای سادگی کار( به صورت نمایش داده می شوند. در صورت احساس نیاز معلم می تواند اشاره کوتاهی به این موضوع در کالس نماید. حتی االمکان از گچ یا ماژیک های رنگی برای ترسیم شکل ها استفاده شود. مطابق روندی که در کتاب هندسه پیش گرفته شده است برای تعریف یک موضوع )مثال واسطه هندسی( یا بیان برخی از قضایا )مثال قضیه تالس یا تعمیم آن( توصیه می شود ابتدا طرحی از آن تعریف یا اثبات قضیه به کمک مطالبی که در درس های قبلی فراگرفته شده بیان شود و سپس آن تعریف یا قضیه به طور رسمی بیان و اثبات شوند. این روش باعث می شود که دانش آموز آن تعریف یا قضیه را راحت تر بپذیرد و ابهت و سختی که ممکن است به واسطه اسم آن تعریف یا قضیه برای دانش آموز پیش بیاید کم رنگ شود. اگر شروع یک درس با بیان یک سؤال کاربردی ملموس از آن درس باشد تا احساس نیاز به دانستن مطالب جدید را در دانش آموز احیا کند بسیار مثمرثمر خواهد بود. به عنوان مثال برای شروع این فصل می توان مسئله محاسبه ارتفاع یک درخت با کمک یک میله یک متری در یک روز آفتابی را بیان کرد. جواب دادن به این سؤال با ابزار موجود در دانش آموز برای فراگیری مطالب و جواب دادن به این سؤال ایجاد انگیزه می کند. نگاه کلی به فصل هدف اصلی این فصل آموزش قضیه تالس و تشابه مثلث ها می باشد. چون قضیه تالس و تشابه مثلث ها مستلزم آشنایی با نسبت ها و تناسب می باشد درس اول این فصل به آموزش تناسب و ویژگی های آن اختصاص یافته است تا دانش آموز مقدمات مواجهه با قضیه تالس و تشابه مثلث ها را فرا گرفته باشد. در همین راستا سعی شده است تناسب ها در مثلث های خاص مثال مثلث هایی که در یک رأس مشترک هستند و قاعده مقابل به رأس مشترک آنها روی یک خط راست قرار گرفته بیان شوند. پس از فراگیری تناسب در درس دوم قضیه تالس بیان می شود و فعالیت ها و تمرین هایی برای درک بهتر قضیه تالس ارائه می شود سپس تعمیم و عکس قضیه تالس بیان و اثبات می گردد. درس سوم اختصاص به تشابه مثلث ها دارد. بعد از تعریف تشابه در مثلث قضیه اسامی تشابه مثلث ها و حالت های تشابه دو مثلث در قالب سه قضیه متوالی بیان شده است.در بخش انتهایی درس سوم اثبات قضیه فیثاغورث به کمک تشابه مثلث ها آورده شده است. در اثبات تشابه دو مثلث در بسیاری از موارد
فصل دوم: قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن 7 قضیه تالس هم استفاده می شود. بنابراین درس دوم این فصل را می توان به نوعی پیش نیاز درس سوم دانست. پس از فراگیری قضیه تالس و تشابه مثلث ها در درس چهارم کاربردهایی از این دو موضوع بیان می گردد. ابتدا به کمک قضیه تالس ثابت می شود که نیمساز هر زاویه داخلی مثلث ضلع روبه روی آن زاویه را به نسبت اندازه های اضالع آن زاویه تقسیم می کند. سپس به عنوان کاربردی از تشابه مثلث ها نسبت ارتفاع ها میانه ها نیمسازها محیط ها و مساحت های دو مثلث متشابه بحث می شود. نقشۀ مفهومی نسبت و تناسب در هندسه قضیۀ تالس تشابه و کاربردهای آن قضیۀ تالس عکس قضیۀ تالس تعمیم قضیۀ تالس کاربرد قضیۀ تالس تعیین نسبت پاره خط های حاصل از برخورد نیمساز به یک قاعدۀ مثلث قضیۀ اساسی تشابه مثلث ها تشابه مثلث ها حالت های مختلف تشابه مثلث ها اثبات قضیۀ فیثاغورث کاربرد تشابه مثلث ها تعیین نسبت اجزای فرعی محیط ها و مساحت ها در دو مثلث متشابه
8 تصویر عنوانی در تصویر ابتدای فصل دوم درختی با ارتفاع زیاد نمایش داده شده است که محاسبه ارتفاع آن به طور مستقیم امکان پذیر نیست. برای محاسبه ارتفاع آن از سایه آن و یک میله با طول مشخص استفاده شده است. بدین صورت که میله روی سایه درخت در ناحیه ای قرار داده شده است که انتهای سایه میله و درخت یکسان باشند. با اندازه گیری فاصله انتهای سایه ها از میله و درخت و استفاده از قضیه تالس ارتفاع درخت محاسبه می شود. x a m n a ma = x = m x n n دانستنی هایی برای معلم تالس )Thales( فیلسوف و دانشمند یونانی بود که حدود 600 سال پیش در شهر میلیتوس یونان )غرب ترکیه امروزی( به دنیا آمد. تالس هم عصر کوروش کبیر بوده است. او را به عنوان آغازگر فلسفه و علم می دانند. تالس اخترشناس قابلی نیز بوده و توانست خورشیدگرفتگی سال 585 قبل از میالد را پیش بینی کند. او توانست با قضیه تالس ارتفاع اهرام مصر را نیز اندازه گیری کند. قضایای زیر را به تالس نسبت می دهند: قطر دایره آن را نصف می کند. زوایای مجاور قاعده در مثلث متساوی الساقین برابراند. زوایای متقابل به رأس برابراند. زاویه ای که در نیم دایره محاط شود قائمه است. اگر اندازه یک قاعده و زوایای آن داده شده باشند می توان مثلث را رسم کرد.
فصل دوم: قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن 9 نمونه سؤال های ارزشیابی X X + 45 را به کمک ویژگی های تناسب بیابید. 45 X b a باشد حاصل 5 a ١ اگر = 3 b 3 5 ٢ در شکل مقابل مقدار x را بیابید. X + ٣ نسبت مساحتهای دو مثلث متشابه برابر 9 میباشد. نسبت محیط مثلث کوچکتر به محیط مثلث بزرگتر چقدر است ٤ در شکل زیر M=MP=P و N = NQ = Q ثابت کنید MN + PQ = M N P Q ٥ میانگین هندسی دو عدد برابر 7 می باشد. حاصل ضرب آنها چقدر است ٦ در یک مثلث قائم الزاویه اندازه دو پاره خطی که ارتفاع وارد بر وتر ایجاد می کند 3/6 و 6/4 است. محیط این مثلث را بیابید. ٧ مثلثی به طول اضالع 3 و 5 و 7 با مثلثی به طول اضالع 5 و x و y متشابه است. اگر < 5 y و x باشند حاصل +x y را بیابید. ٨ در یک مثلث قائم الزاویه از وسط وتر عمودی بر ضلع قائم فرود می آوریم تا مثلث جدیدی حاصل شود. مساحت مثلث اصلی چند برابر مساحت مثلث جدید است ٩ مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید. اگر سه مثلث متساوی االضالع به طول ضلع های مثلث مطابق شکل روبه رو در نظر بگیریم ثابت کنید: S Q = S P + S R P R Q
0 E D 0 در شکل روبه رو D و E دو میانه مثلث هستند. نسبت مساحت مثلث F به FED را بیابید. F اندازه محیط های دو مثلث متشابه برابر 5 و 8 می باشد. اگر مساحت مثلث بزرگ تر 5 باشد مساحت مثلث کوچک تر چقدر است وسط اضالع روبه رو در یک چهارضلعی دلخواه را به هم وصل می کنیم. ثابت کنید این دو پاره خط همدیگر را نصف می کنند. 3 زاویه های خارجی مثلثی با اعداد و 3 و 4 متناسب اند اندازه کوچک ترین زاویه داخلی مثلث چقدر است. اگر M و M به ترتیب = = 4 در دو مثلث متشابه و داریم S M میانههای رأس و باشند نسبت S M چقدر است 5 در دو مثلث متشابه نسبت بین دو ارتفاع متناظر برابر 4 است. اگر مساحت مثلث کوچک تر 5 باشد مساحت مثلث بزرگتر چقدر است 6 در شکل روبهرو D و M نسبت D مساحت مثلث M به مثلث MD چقدر است M D 7 مثلثی با طول اضالع 4 و 6 و 3 و مثلث دیگری با طول اضالع 9 و 3 3 و 6 مفروضاند. نسبت مساحت مثلث کوچکتر به مثلث بزرگتر چقدر است 8 یک مثلث را به چهار مثلث همنهشت تقسیم کردهایم محیط مثلث اولیه چند برابر محیط یکی از مثلثهای همنهشت میباشد
فصل دوم: قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن N M 9 در شکل مقابل = 3 N. M = نسبت M N مساحت مثلث به مساحت چهارضلعی MN چقدر است 0 در مثلث متساوی االضالعی به طول ضلع یک مربع محاط کرده ایم. طول ضلع مربع چقدر است چهارضلعی D یک مستطیل است. F نقطه ای از ضلع D است که.F D اگر =3D باشد آن گاه D چند برابر DF است D F H
درس اول نسبت و تناسب در هندسه اهداف درس اول ١ درک دقیق و روشن تناسب و ویژگی های آن. ٢ فراگیری رابطه بین نسبت طول دو ضلع از مثلث با نسبت ارتفاع های وارد بر آن دو ضلع. ٣ توانایی یافتن نسبت مساحت های دو مثلث که دارای یک ارتفاع مساوی هستند. ٤ توانایی تعیین نسبت های مساحت های دو مثلث که در یک رأس مشترک باشند و قاعده مقابل آن رأس مشترک در هر دو مثلث روی یک خط مشترک واقع باشند. ٥ درک تساوی مساحت دو مثلث که دارای یک قاعده مشترک هستند و رأس مقابل به این قاعده در هر دو مثلث روی خطی موازی قاعده مشترک واقع باشد. ٦ تعریف واسطه هندسی و توانایی محاسبه آن. روش تدریس درس اول هدف فعالیت این درس بیان کاربردی تناسب می باشد تا دانش آموز به اهمیت تناسب در مسائل ریاضی پی ببرد. در فعالیت و کار در کالس های صفحه 3 و 3 حالت خاصی از فعالیت در نظر گرفته شده است که منجر به نتایج جالبی )نتیجه و و 3( شده است. در فعالیت و کار در کالس های صفحه 3 و 3 نسبت مساحت مثلث هایی که ارتفاع های یکسان دارند در حالت های مختلف به دست آمده است. در فعالیت وقتی ارتفاع ها مساوی اند نسبت مساحت ها به دست آمده است و در کار در کالس صفحه 3 وقتی ارتفاع ها مشترک هستند نسبت مساحت ها به دست آمده است. در کار در کالس صفحه 3 وقتی ارتفاع ها مساوی اند و قاعده ای که ارتفاع ها بر آن وارد شده اند مشترک هستند نسبت مساحت ها به دست آمده است.
فصل دوم: قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن 3 حال که تناسب تعریف شده است و اهمیت آن در مسائل ریاضی و هندسه مشخص گردیده است الزم است دانش آموزان مهارت محاسبات با تناسب را فراگیرند. در این رابطه معلم می تواند با بیان مثال ها و تمرین های مناسب ویژگی های تناسب را که در صفحه 3 آمده است برای دانش آموزان بیان کند. برای تعریف واسطه هندسی بهتر است معلم قبل از اینکه نامی از واسطه هندسی ببرد بیان کند که در a b c a b d تناسب a = c اگر یا a = d یا c = b باشد چه نتیجهای حاصل میشود مثال فرض کنید a=d پس = که با طرفین وسطین نتیجه می شود a. = bc در این لحظه بیان کند که»a را واسطه هندسی b و c«می نامند. حل تمرین های درس اول ١ x y z 3 x+ y+ z 3 33 = = = = x+ y+ z = 3 6 5 + 3+ 6 5 5 a = bc a = 80 a = 80 8=b و 0=c و a واسطه هندسی b و c است. 3 چون در هر مثلث نسبت اندازه های هر دو ضلع با عکس نسبت ارتفاع های وارد بر آنها برابر است بنابراین بلندترین ارتفاع مثلث به کوتاه ترین ضلع مثلث یعنی ضلع که طول آن 4 است وارد می شود. بنابراین: H H H H H 4 3 5 = = H = 3 5 8 4 H 4 = = 3 5 6 H3 = 5 3 3 H 3 H 4 6 H 8
4 4 رأس در سه مثلث E و DE و D مشترک است و ضلع مقابل رأس در هر سه مثلث روی یک خط قرار دارد بنابراین مساحت این سه مثلث متناسب با طول ضلع مقابل به رأس در آنها می باشد پس: SE E 3 E = = DE = E S DE DE 3 DE SE E E = = D = E S D D D E DE = 3 = D 3 E E + E + E E D + DE + E = = 3 = 6 = DE E E E 3 3 3 بنابراین: ٥ پای ارتفاع وارد بر ضلع D در مثلث D را H مینامیم. چون خط d با پارهخط موازی است پس مساحت دو مثلث و D برابرند. S D بنابراین =8 cm اما داریم: 8 SD = H D 8 = H 6 H = 3
فصل دوم: قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن 5 درس دوم قضیه تالس اهداف درس دوم ١ درک قضیه تالس و توانایی بیان و اثبات آن به کمک تناسب توسط دانش آموز ٢ درک تعمیم قضیه تالس و رابطۀ آن با قضیه تالس ٣ آشنایی دانش آموزان با عکس قضیه تالس و روش اثبات آن روش تدریس درس دوم مطابق الگوی بیانشده در صفحه 34 الزم است که معلم ابتدا تناسب E = D را با استفاده از E D مطالب درس اول و با همکاری دانش آموزان نتیجه بگیرد و بعد قضیه تالس را بیان کند. کار در کالس بیانگر کاربرد قضیه تالس در محاسبه طول برخی از اضالع مثلث ها می باشد و در واقع مهارت به کار بردن قضیه تالس را باال می برد. فعالیت نیز با همین روند ابتدا تعمیم قضیۀ تالس را بدون ذکر نامی از آن و با کمک دانش آموزان اثبات می کند و سپس صورت قضیه را بیان می دارد. کار در کالس صفحه 35 نیز برای جا افتادن تعمیم قضیه تالس برای دانش آموز بیان شده است. در این لحظه از دانش آموز سؤال شود که به نظر شما عکس قضیه تالس درست است و از آنها بخواهیم تا عکس قضیه تالس را بیان کنند و در مورد درستی یا نادرستی آن بحث کنند. سپس عکس قضیه و اثبات آن ارائه شود.
6 D E = = D = D E D 05 / = D + D = + = 3 E DE DE = = DE = 4 = 8 5 / 4 5 / 3 M N = = x = x + x = M N x x + حل تمرین های درس دوم ١ طبق قضیه تالس داریم: ٢ طبق قضیه تالس داریم: M MN x 05 / x = 5 / = = = + x 3 =4/ 5 3 طبق قضیه تالس داریم: N M 9 x = = x = 36 x = 6 N M x 4 N MN 9 y x= 6 9 y = = = 9+ x x + 5 8 O O O O y = 7 y = 87 5 30 = () O O = )( O O O O = O O )( و )( )3( 4 در مثلث O چون طبق قضیه تالس داریم: در مثلث O چون طبق قضیه تالس داریم:
فصل دوم: قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن 7 در مثلث O با توجه به رابطه )3( و عکس قضیه تالس نتیجه میشود 5 در مثلث DE چون DE طبق قضیه تالس داریم: در مثلث DF چون E DF طبق قضیه تالس داریم: E D = () E = F D )( و )( E E. F E = F = M P N 7 یکی از قطرهای ذوزنقه D مثال قطر ر ا ر س م می کنیم و نقطه برخورد آن با پاره خط MN را P می نامیم.در مثلث D چون MP D طبق قضیه تالس داریم: D M MD P P = )( N N P P = )( در مثلث چون PN طبق قضیه تالس داریم: 8 فرض کنید فاصله توپ از زمین مسابقه برابر x باشد. طبق اطالعات صورت مسئله شکل زیر را خواهیم داشت: چون DE طبق قضیه تالس در مثلث داریم: )( و )( M N = MD N E DE 900 43 = = x = 97cm 00 x قد این بازیکن 80cm است و توپ هم 30cm باالی سر اوست بنابراین =97-80-30= 87cm میزان پرش بازیکن
8 درس سوم تشابه مثلث ها اهداف درس سوم دانش آموز با مفهوم تشابه دو مثلث و رابطه بین زاویه ها و اضالع دو مثلث متشابه آشنا شود. ٢ آشنایی با قضیه اساسی تشابه مثلث ها و فراگیری حالت های مختلف تشابه مثلث ها و تسلط بر آنها با ارائه مثال های مناسب. ٣ دانش آموز بتواند قضیه معروف فیثاغورس را که در گذشته بارها آن را به کار برده است به کمک تشابه مثلث ها اثبات کند. ٤ دانش آموز بتواند رابطه های طولی اضالع یک مثلث قائم الزاویه و پاره خط هایی که توسط ارتفاع وارد بر وتر آن مثلث حاصل می شوند را درک و بیان کند. روش تدریس درس سوم چون دانش آموزان در سال گذشته با مفهوم تشابه آشنا شده اند در ابتدای این درس از دانش آموزان سؤال شود که تشابه و ویژگی های آن چیست پس از بحثی مختصر تعریف تشابه دو مثلث بیان شود و برای مثال مثلث و پاره خط MN که MN رسم شود. M N
فصل دوم: قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن 9 و بررسی شود که دو مثلث MN و تمام شرایط تعریف تشابه دو مثلث را دارند بنابراین متشابه هستند سپس صورت قضیه اساسی تشابه مثلث ها بیان شود. سپس از دانش آموزان سؤال شود که آیا برای بیان بررسی تشابه دو مثلث الزم است که هر شش شرط تشابه )یعنی تساوی زاویه های متناظر و متناسب بودن اضالع متناظر( بررسی شود یا برخی از آنها می توانند باقی را نتیجه دهند. سپس بیان شود که جواب مثبت است و در برخی موارد نیاز به بررسی هر شش شرط نیست. مثال اگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگری برابر باشد آن دو مثلث متشابه هستند و چهار شرط دیگر برقرار خواهند بود سپس صورت قضیه بیان شود. قضایای و 3 نیز به همین صورت بیان و اثبات شوند. مثال صفحه 40 بیانگر یک کاربرد عملی از تشابه مثلث ها می باشد. و دو مثال صفحه 4 برای افزایش مهارت دانش آموزان در به کارگیری تشابه مثلث ها هستند. در این لحظه از دانش آموزان سؤال شود که آیا رابطه فیثاغورس را که یکی از روابط مهم ریاضی است را به خاطر دارند. و از آنها خواسته شود تا صورت آن را بیان کنند سپس سؤال شود که آیا در مورد اثبات آن تا به حال فکر کرده اید. اینک با استفاده از تشابه مثلث ها قادر به اثبات این قضیه می باشیم. سپس اثبات قضیه با کمک دانش آموزان و مرحله به مرحله مطابق کتاب انجام گیرد. نتیجه وسط صفحه 4 روابط طولی در مثلث قائم الزاویه هستند که بررسی آنها به دانش آموزان واگذار شود. حل تمرین های درس سوم y 3 شکل اول: DE = E و = D پس دو مثلث و DE به حالت دو زاویه با هم متشابه هستند. بنابراین D x 8 5 E y = = y = 6 DE E 8 5 5 = = 3 x = 5 E D 5 x
30 D 3 x 6 D = E = = شکل دوم: دو مثلث و 3 DE 6/6 E x = = x = / D DE 3 6/ 6 به حالت دو ضلع متناسب و زاویه بین مساوی متشابه هستند.بنابراین: شکل سوم: a c b x 3a 80 3b = = = 3 x = = ' = 80 ( 80+ 40) = 60 0 )١ 40 3c دو مثلث و به حالت سه ضلع متناسب متشابه هستند. بنابراین زاویه های مقابل به اضالع متناسب برابرند پس: ٢??? 9 H 4 = H = 9 3 = 7 = 7 = H = 4 3 = 5 = 5 H = H H = 9 4 = 36 H = 6
فصل دوم: قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن 3 ) 0?? H 00 5 00 44 = H 0 = H H = = H = = = 3 3 = H = = 44 = 44 3 H = H = 0 44 H = 5 3 3) 8 6? H? = + = 8 + 6 = 00 = 0 = H 8 = H 0 H = 6 / 4 H = H = 0 6 / 4 = 3 / 6 4) 8 4? H H H 8 4 H مثلث H قائمالزاویه است. = + = + H = 48 H = 4 3 4 3 H = H H 4 = ( 4 3) H H = 3 4 3 6 3 = H + H = 4 3 + = 3 3 56 64 = = 64 = 3 3 = 8 3 3
3 4 مشترک = D ٣ 6 D D D 4 D 4 = = = 4 D + D 4 6 + D بنابراین: ( 6 + D)D = 6 D + 6D 6 = 0 D = 8 (D + 8)(D ) = 0 D = = D + D = 6+ = 8 غ ق ق 4 D 4 6 6 4 = D D = = D = D = = D = D D = D بنابراین مثلث های D و D به حالت دو زاویه برابر متشابه هستند. پس D D D 6 = = D = 9 D 6 4 5 5 3 y در مثلث قائمالزاویه H داریم: = H + H 3 = x + y x + y = 69 () 4 X 4 x
فصل دوم: قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن 33 = H + H 5 =y +(4-x) y + 98-8 x + x = 5 x + y - 8x = 9 69-8x = 9 8x = 40 x = 5 x + y = 69 y = 69 - x = 69-5 = 44 y = مساحت مثلث = H /5 = 4 = 84 x در مثلث قائم الزاویه H داریم: با توجه به رابطه )( داریم: 6 الف(زاویه بین هر جسم عمود بر زمین و شعاع تابشی خورشید در یک لحظه مشخص مقداری ثابت است. بنابراین = بنابراین دو مثلث و به حالت تساوی دو زاویه متشابه هستند. /5 بنابراین: / 5 / 5 30 = = x = = 0m x / 5 ب( میدانیم زاویه تابش و انعکاس یکسان میباشند. بنابراین O = O بنابراین دو مثلث O و DO متشابه هستند )به حالت تساوی دو زاویه( بنابراین: O 60 50 = = x = 80cm = / 8m D O x 000 D x 60 50 O 000
34 D O x H y 7 الف( چون زاویه یک زاویه محاطی مقابل 0 80 0 = = 90 به کمان 80 0 درجه است بنابراین ب( مطابق شکل واضح است که OD H پ( در مثلث قائمالزاویه طبق روابط طولی داریم: H = H H = xy H = xy x+ y x + y = OD OD = x+ y xy از طرفی OD برابر شعاع دایره است پس دو برابر OD است بنابراین و با توجه به قسمت )ب( داریم: ت( بله. مطابق قسمت )پ( این نامساوی صحیح است و بیان می دارد که میانگین حسابی دو عدد مثبت بزرگ تر یا مساوی میانگین هندسی آنها است. c b a ( ) = ( ) + ( ) = () + () = c + b = a = a = 8 الف( اگر a و b و c طول اضالع یک مثلث باشند و a = b + c باشد آن گاه آن مثلث قائم الزاویه است. ب( دو پاره خط و را که بر هم عمود هستند و = و = هستند را رسم می کنیم. و را به هم وصل می کنیم تا مثلث قائم الزاویه حاصل شود. طبق رابطه فیثاغورس در مثلث داریم: اما طبق صورت مسئله )قسمت الف( داریم a b= + c بنابراین: پس دو مثلث و به حالت تساوی سه ضلع هم نهشت هستند. بنابراین مثلث نیز قائم الزاویه است. ج( یک مثلث قائم الزاویه است اگر و تنها اگر مربع ضلع بزرگ تر برابر مجموع مربع های دو ضلع دیگر باشد.
فصل دوم: قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن 35 درس چهارم کاربردهایی از قضیه تالس و تشابه مثلث ها اهداف درس چهارم دانش آموز بتواند به کمک قضیه تالس ثابت کند که در هر مثلث نیمساز هر زاویه داخلی قاعده مقابل به آن زاویه را به نسبت ضلع های آن زاویه تقسیم می کند. دانش آموز به کمک تشابه مثلث ها ثابت کند در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاع ها میانه ها نیمسازهای متناظر برابر نسبت تشابه است و نسبت مساحت ها برابر مربع نسبت تشابه و نسبت محیط ها برابر نسبت تشابه است. روش تدریس درس چهارم بهتر است برای شروع این درس معلم برای دانش آموزان بیان کند که حال که در درس های قبلی با قضیه تالس و تشابه مثلث ها آشنا گشته ایم می خواهیم چند کاربرد از این مطالب را در درس جدید بیان کنیم. یکی از کاربردهای قضیه تالس در قضیه نیمسازهای زوایای داخلی مثلث است. سپس صورت قضیه صفحه 45 بیان شود و اثبات آن به کمک دانش آموزان مطابق کتاب انجام پذیرد. مثال صفحه 45 و کار در کالس صفحه 46 برای درک بهتر قضیه نیمسازهای زاویه های داخلی می باشند. در ادامه معلم بیان کند که حال می خواهیم کاربردی از تشابه مثلث ها را بیان کنیم. با استفاده از تشابه مثلث ها می توان نسبت ارتفاع ها میانه ها نیمسازها و محیط ها و مساحت های متناظر دو مثلث را به دست آورد. سپس قضیه صفحه 46 بیان و اثبات گردد. سپس از دانش آموزان سؤال شود که نتایج به دست آمده برای نسبت محیط و مساحت دو مثلث متشابه آیا قابل تعمیم برای چند ضلعی ها نیز می باشد پس از بحث در مورد آن کار در کالس باالی صفحه 48 انجام شود و نتیجه آن به طور واضح بیان گردد. سپس در مورد متشابه بودن دو n ضلعی منتظم بحث شود.
36 حل تمرین های درس چهارم ١ 0 5 0 بزرگ ترین ضلع مثلث نظیر بزرگ ترین ضلع مثلث است پس مطابق شکل نظیر که طول آن 5 است می باشد. 0 = = 5 3 بنابراین نسبت تناسب محیط محیط = 3 محیط محیط 74 = = 5 + 0+ 3 3 k است. بنابراین: ٢ دو مثلث MN و متشابه هستند و نسبت تشابه برابر = M S S SMN SMN = k = k = k S S S MN MN MN k -=8 k = 3 M = 3 = 3 M M M = M
فصل دوم: قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن 37 ٣ می دانیم که هر نیمساز قاعده وارد بر آن را به نسبت دو ضلع آن تقسیم می کند. بنابراین: x y x+ و = y =7 5 0 x y x+ y = = = 7 5 0 5 5 x 7 7 = x = 5 5 3 y 7 4 = y = 0 5 3 5 0 x 7 y ٤ در مثلث MQ M نیمساز است. بنابراین: Q P Q Q M M M = )( P M = () P M P Q = P Q در مثلث MP M نیمساز است. بنابراین: چون M=M از )( و )( نتیجه می شود بنابراین طبق عکس قضیه تالس داریم: PQ H H 5 الف( طبق نتیجه درس اول نسبت مساحت دو مثلث D و D برابر نسبت در آنهاست پس: و اضالع روبه روی زاویه D S S D D D D = )( ب( چون D روی نیمساز زاویه قرار دارد پس فاصله آن از دو ضلع زاویه یکسان است بنابراین.DH=DH
با توجه به نتیجه درس اول چون در دو مثلث D و D ارتفاعهای DH و DH برابرند نسبت مساحتهای دو مثلث برابر نسبت قاعدههای آنهاست یعنی: SD = )( S D )( و )( a = = D 3a 3 E 4b = = 6b 3 E E = = D D x = y+ 5 x 7= x+ y S S D E 3 9 = ( ) = 4 ج( با توجه به روابط )( و )( درستی قضیه نیمسازها اثبات می شود یعنی: D = D. E از طرف دیگر داریم: 6 چون E دو برابر ED است پس = 3 بنابراین: پس دو مثلث E و D به حالت تناسب سه ضلع متشابه هستند. بنابراین زاویه های روبه رو به اضالع متناسب در دو مثلث با هم برابرند پس: x = 9 y = چون نسبت اضالع متناظر مثلث D به مثلث E برابر 3 میباشد بنابراین: 38 7 الف( مثلثهای H و متشابهاند و نسبت تشابه آنها است: H بنابراین: S S S S H H = ( ) به همین ترتیب مثلثهای H و با نسبت تشابه ) ( متشابهاند و داریم: = ( )
فصل دوم: قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن 39 S H S H + = ( ) + ( ) S S S + + = = S + = ب( با جمع دو طرف قسمت الف داریم: S + S H H = + S S H داریم: +S H =S چون 8 از چشم ناظر خط راستی موازی زمین رسم می کنیم شکل زیر حاصل می شود: M 0 M MN / = 0 = 4 4 80 طبق قضیه تالس با توجه به موازی بودن MN و داریم: =7 / 6 m بنابراین فاصله عمودی چشمان ناظر از نوک آنتن برابر 7/6 متر میباشد: پس: = 6 m 7/6-3/+/6 = ارتفاع ساختمان 9 واحد همه طولهای موجود را به cm تبدیل میکنیم. Dǁ بنابراین: 4/ O N 4/4 M 60 600 OM 3/ 5 4/ = = D = 500cm = 5m D ON D 600 N D = D O = OD بنابراین نسبت ارتفاع های نظیر در دو مثلث نیز برابر نسبت تشابه می باشد پس:
40 حل برخی از نمونه سؤال های ارزشیابی پاسخ سؤال 9( ارتفاع های H و MH را رسم می کنیم. M H N H MH H M = = 4 S. H H =. 4 4 6 = =. = S MN N MH N. MH 3 3 3 3 S = S S = S S = S 6 6 NM MN S = 6 S 3 NM P در مثلث H داریم H ǁMH پس: بنابراین: پاسخ سؤال 0( در مثلث M طبق قضیه فیثاغورس داریم: = M + M = M + M = 3 M Q a PQ = a و Q = a Q PQ a = = M M 3 طول ضلع مربع محاط شده را برابر a در نظر می گیریم بنابراین: چون PQǁM طبق قضیه تالس داریم: a 3 3 ( 3) a = 3 ( ) a = = = 4 3 6 + 3 4 3
فصل دوم: قضیه تالس تشابه و کاربردهای آن 4 پاسخ سؤال ( طول ضلع D را برابر a در نظر می گیریم بنابراین. = 3a طبق رابطه فیثاغورس در مثلث D داریم: D F a H 3a D = + D = a + ( 3a) = 0a D = 0a در مثلث D پاره خط H ارتفاع وارد بر وتر است بنابراین طبق روابط طولی داریم: D = DH.D a = DH. 0 a DH = D = DF DFH H F = H D DH = = DF HD DF HD a 0 a = 0 = 9 DF a 0 0 چون =D بنابراین D 9 برابر DF است.
4
فصل 3 چندضلعی ها
44 نگاه کلی به فصل در دوره ابتدایی در مورد چندضلعی های معروف مانند مثلث مربع مستطیل متوازی االضالع لوزی و ذوزنقه و برخی ویژگی ها و نیز روش محاسبه مساحت آنها مطالبی ارائه گردید. در دوره متوسطه اول در کتاب ریاضی هشتم در مورد این چندضلعی ها و چندضلعی های منتظم و ویژگی آنها و نیز تعداد قطرها و اندازه زاویه های داخلی و خارجی آنها مطالبی گسترده تر از دوره ابتدایی ارائه گردید. در کتاب های ریاضی دوره متوسطه اول روش هایی برای تشخیص چندضلعی های محدب و مقعر مطرح گردید. در ریاضی هشتم و نهم با استفاده از هم نهشتی مثلث ها برخی از ویژگی های این چندضلعی ها به صورت ضمنی اثبات گردید هر چند که هدف آموزش اثبات آن ویژگی ها نبوده است بلکه به کارگیری حالت های مختلف هم نهشتی مثلث ها بوده است. در این فصل در ابتدا مفاهیم پایه و اساسی مانند نقطه پاره خط ضلع و رأس یادآوری می شوند و سپس به تعریف چندضلعی قطر و چندضلعی محدب و مقعر پرداخته شده است. سپس انواع چهارضلعی های مهم و برخی از ویژگی آنها معرفی بررسی و اثبات می گردند. در طی این مراحل سعی می شود دانش آموز به صورت فعالیت محور با مراحل و روش های استدالل در هندسه آشنا شده و روش های استدالل را بیاموزد. در قسمت دوم این فصل مساحت چندضلعی های مهم یادآوری می گردند و برخی از ویژگی های پرکاربرد در مساحت مورد بررسی و اثبات قرار می گیرند و سپس کاربردهایی از مساحت مطرح می گردد و در نهایت نقاط شبکه ای و روش محاسبه مساحت شکل های گوناگون در صفحه شبکه بندی شده مطرح و آموزش داده می شود.
فصل سوم: چند ضلعی ها 45 نقشه مفهومی چندضلعی ها و ویژگی های آنها یادآوری مفاهیم اساسی ضلع و رأس قطر و محاسبه تعداد آن چندضلعی محدب و مقعر معرفی چهارضلعی ها و ویژگی های آنها متوازیاالضالع مستطیل لوزی مربع چند ضلعی ها ذوزنقه مثلث مربع یادآوری مساحت چندضلعی های مهم مستطیل متوازی االضالع لوزی ذوزنقه مساحت و کاربردهای آن کاربردهایی از مساحت و برخی ویژگی های مهم نقاط شبکه ای و مساحت
46 تصویر عنوانی از دانش هندسه و شکل های هندسی به طور گسترده ای در معماری بناها سازه ها و پل ها استفاده می شود. در کشور عزیزمان ایران از دوران کهن تا معاصر بناها و سازه های بسیاری وجود دارند که نشان دهند ه به کارگیری وسیع هندسه در طراحی و ساخت آنها می باشد. پل طبیعت تهران یکی از بناهای شاخص و ممتاز ایران و جهان در دوران معاصر است که آشنایی و کاربرد هندسه به خصوص چندضلعی ها در طراحی و ساخت آن توسط مهندس نابغه زن ایرانی به صورت شایان توجهی به چشم می خورد. چندضلعی های گوناگون شامل مثلث مربع مستطیل لوزی متوازی االضالع و ذوزنقه در قسمت های مختلف این ساز ه زیبا به وضوح قابل رویت و شناسایی است. برای استحکام بیشتر برخی از قسمت های این سازه از اتصال قطرهای این چندضلعی ها استفاده شده است. مساحت این پل 7000 متر مربع است که در ارتفاع 40 متری از سطح زمین با سه ستون و در سه طبقه اولین پل صرفا پیاده رو در ایران محسوب می شود. دانستنی هایی برای معلم D O =, = D, O = OD = D, = D کایت یا شبه لوزی: کایت چهارضلعی شامل فقط دوجفت متمایز از ضلع های مجاور با اندازه های برابر است. در واقع کایت چهارضلعی محدبی است که دارای دو قطر عمود بر هم است و فقط یکی از قطرهای منصف قطر دیگر می باشد. قطری که منصف قطر دیگر است محور تقارن کایت و همچنین نیمساز دو زاویه مقابل است. مساحت کایت مانند مساحت لوزی محاسبه می شود. در واقع کایت اجتماع دو مثلث متساوی الساقین است که قاعده های آنها مشترک و دو رأس دیگر دو مثلث در دو طرف خطی باشند که قاعده مشترک روی آن واقع است. سپس قاعده مشترک را حذف کرده باشیم. S D D = لیال عراقیان
فصل سوم: چند ضلعی ها 47 توصیه های آموزشی به همکاران محترم توصیه میشود که برای تدریس هر قسمت قبل از بیان نتیجهها و قضیهها فعالیتهای طراحی شده بهصورت مرحله به مرحله پاسخ داده شود تا یک نظم منطقی برای رسیدن به نتایج و قضایا و اثبات برخی از ویژگیها در ذهن دانشآموز شکل گیرد. در مواردی که به جز مراحل طراحی شده در فعالیتها و نتیجهگیریها مراحل یا روش دیگری وجود دارد که در کتاب به آن اشاره شده ولی توضیح کاملی ارائه نگردیده است و یا در کتاب به آن اشاره نشده است ولی میتوان آن را ارائه داد بهطوری که دانشآموز از طریق آن میتواند به همان نتایج دست یابد بهتر است پس از تدریس و ارائه مراحل مطرح شده در کتاب و از طریق راهنمایی و هدایت دانشآموز را بهسوی درک روش یا روشهای دیگر هدایت نمود. این امر سبب میگردد که دانشآموز برای حل برخی از مسائل فقط به یک روش وابسته نگردد و بداند که میتواند برای حل برخی از مسائل دیدگاههای متفاوتی را اتخاذ نماید و نیز میتواند بین دو یا چند روش روشی را که از نظر وی برای درک مفهوم مورد نظر راحتتر است انتخاب نماید. مسیرهاییبرایتوسعه:برای افزایش سطح درک دانشآموزان و برقرای ارتباط بیشتر دانشآموز و کتاب استداللهای این فصل تا حد امکان بهصورت کالمی مطرح شدهاند. میتوان در هر قسمت پس از ارائه آنچه در کتاب مطرح شده است از دانشآموزان بخواهیم تا سعی کنند آن را به زبان ریاضی و با نمادهای ریاضی بنویسند. مثلثهای متساویاالضالع و متساویالساقین دارای ویژگیهایی هستند که دانشآموز بسیاری از آنها را در سالهای قبل مطالعه نموده و آموزش دیده است. از آنجایی که این مثلثها و ویژگیهای آنها و نیز برخی پارهخطها در این مثلثها مانند نیمساز و ارتفاع و میانه در حل بسیاری از مسائل و یا دستیابی به برخی از نتایج در این فصل استفاده میگردند بنابراین ارائه مسائلی که به اثبات برخی از ویژگیهای این مثلثها منجر میشود قبل از شروع قسمت تعریف چهارضلعیهای مهم میتواند در ارائه کار موجب سادهتر شدن امر آموزش گردد. مانند مسئله زیر: در مثلث متساویاالضالع H ارتفاع است. ثابت کنید: الف( = ب( H = H H در قسمت مساحت برای درک کاربرد مساحت و یا درک بزرگی یا کوچکی مقدار محاسبه شده در برخی موارد میتوان از دانشآموز خواست تا مساحت محاسبه شده در یک شکل را با مساحت شکلهایی که با آنها آشنایی دارند مقایسه نمایند. بهطور مثال میتوان از دانشآموز خواست تا مساحت یک چندضلعی )بهعنوان مثال
48 یک قسمت از یک سالن ورزشی که به شکل ذوزنقه است( را با مساحت یک سرامیک یا موزاییک 30 در 30 مقایسه نماید و تعداد کاشی ها یا موزاییک مورد نیاز جهت کاشی کاری یا موزاییک نمودن آن سطح را محاسبه کند. نمونه سؤاالت ارزشیابی الف( ثابت کنید مستطیلی که قطرهای آن بر هم عمود باشند مربع است. ب( ثابت کنید لوزی که دو زاویه مجاور آن همنهشت باشند مربع است. الف( ثابت کنید از تقاطع نیمسازهای درونی متوایاالضالع که لوزی نباشد یک مستطیل پدید میآید. ب( اگر همه اضالع متوازیاالضالع برابر باشند چه اتفاقی رخ خواهد داد 3 ثابت کنید هر دو رأس مقابل یک متوازیاالضالع از قطر گذرنده از دو رأس مقابل دیگر به یک فاصلهاند. 4 اگر P نقطهای دلخواه روی قطر D از متوازیاالضالع D باشد ثابت کنید دو P O مثلث P و P هممساحت هستند. راهنمایی: قطر را رسم کرده و از D ویژگی میانه در مساحت استفاده کنید. میتوانید از مسئله )٣( نیز استفاده کنید. 5 در ذوزنقه مقابل M وسط D و N وسط M N است.ثابت کنید: + D D = MN MN( را الف( پارهخط میانگین میگویند( ب( MNǁ و MNǁD از به وصل کرده تالقی پارهخط را با پارهخط MN نقطه K بنامید سپس از قضیه پارهخط میانگین در مثلث استفاده کنید. 6 ثابت کند اگر در یک مثلث قائمالزاویه یک 5 زاویه 5 º یا 75º باشد اندازه ارتفاع وارد بر وتر 4 H اندازه وتر است. ) (H = 4
فصل سوم: چند ضلعی ها 49 )راهنمایی: از رسم میانه وارد بر وتر و خواص مثلث متساویالساقین و ضلع مقابل به زاویۀ 30 º در مثلث قائمالزاویه استفاده نمایید( D 7 ثابت کنید در هر چهارضلعی دلخواهی P مانند D اگر از به هم وصل نمودن وسط دو ضلع مقابل و وسط دو قطر آن یک چهارضلعی M N حاصل شود آن چهارضلعی متوازیاالضالع است. Q R M P 8 در چهارضلعی محدب M D وسط و N وسطD است. ثابتکنید: S + S = S P RD MPNR D N )راهنمایی: از M به N وصل نمایید( 9 سالن فوتسالی از باال به شکل زیر است. در چهار گوشه آن فضاهای مثلثی برای نصب پروژکتور در نظر گرفته شده است. می خواهند فضاهای مشخص شده )ذوزنقه ها( برای تماشاچیان را به صورتی موزاییک کاری کنند که از دید دوربینی که در سقف ورزشگاه قرار دارد به دو رنگ آبی و قرمز دیده شود و دوربینی که در سمت تماشاچیان آبی و یا قرمز قرار دارد جایگاه تماشاچیان مقابل را جهت القای آرامش سبزرنگ نمایش دهد. اگر در هر جایگاه 4 پله با ارتفاع 50 سانتی متر و عرض های برابر درنظر گرفته شود و از موزاییک هایی به ضلع 50cm و مربعی استفاده شود. تعداد موزاییک های قرمز و آبی و سبز را مشخص نمایید. 40m 45 45 5m 0m 5m
50 0 زمین Ι و II به دو کشاورز تعلق دارند. هر یک از این دو کشاورز می خواهند برای استفاده بهتر مثال فنس کشی و استفاده از ماشین های کشاورزی مرز مشترک D بین خود را به یک مرز پاره خط مستقیم تبدیل کنند به طوری که مساحت هیچ کدام تغییر نکند. تعیین کنید این مرز چگونه باید رسم شود. )راهنمایی: ابتدا از خطی موازی EF رسم نمایید و پاره خط و خط موازی با آن را از نقطه رسم کنید و...( E H D G F در متوازی االضالع M D وسط ضلع D است. و قطر پاره خط M را در N قطع می کند. مساحت مثلث MN چه کسری از مساحت متوازی االضالع D است )یا مساحت متوازی االضالع چند برابر مساحت مثلث MN است ( O N D M پاسخ سؤال 7: پاسخ برخی از سؤاالت ارزشیابی است: در مثلث وسط M و وسط Q D است: در مثلث D وسط P و D وسط N M Q = = MQ DN DP = = PN D D MQ PN و بهصورت مشابه با استفاده از عکس قضیه تالس در مثلثهای D و D میتوان نتیجه گرفت که MPǁNQ پاسخ سؤال : قطر D را رسم میکنیم با استفاده از ویژگی )٣( در مساحت. SMN = SN پارهخطهای M و (O O نقطه تالقی دو قطر( دو میانه مثلث D میباشند در نتیجه S = S = S(D) = S = S 3 3 6 MN N D D